운동량
어~~~ 요즘 몸이 찌뿌둥한게 운동량이 적어서 그래.
물리학에서 운동량($\vec{p}$)은 질량($m$)과 속도벡터($\vec{v}$)의 곱으로 다음과 같이 정의된다: \begin{equation} \vec{p}=m\vec{v}. \end{equation}
1 운동량 보존의 법칙
바로 이 운동량이 보존된다는 운동량 보존의 법칙이 있다. 충격량($\vec{I}$)를 이용하면 쉽게 운동량 보존의 법칙을 설명할 수 있다. 충격량은 힘벡터($\vec{F}$)와 시간변화($\Delta t$)의 곱으로 표현된다: \begin{equation} \vec{I}=\vec{F}\Delta t. \end{equation}
두 물체 1과 2가 움직이면서 시간 $\Delta t$ 동안 부딪힐 때 일어난 작용과 반작용은 그 방향만 반대고 크기는 똑같아야 된다. 즉,
\begin{align} \vec{I}_1&=\vec{F}_1\Delta t=m_1\vec{a}_1\Delta t=m_1\Delta\vec{v}_1=\Delta\vec{p}_1,\\ \vec{I}_2&=\vec{F}_2\Delta t=m_2\vec{a}_2\Delta t=m_2\Delta\vec{v}_2=\Delta\vec{p}_2, \end{align} \begin{equation} \Delta\vec{p}_1=-\Delta\vec{p}_2. \label{eq:p1p2} \end{equation}
식 (\ref{eq:p1p2})로부터 다음과 같은 운동량 보존식을 유도할 수 있다: \begin{equation} \Delta\vec{p}_1+\Delta\vec{p}_2=0. \end{equation}
2 에너지 보존의 관점
에너지($E$)가 보존된다는 것은 이해하기 쉽다. 에너지는 일($W$)을 할 수 있는 잠재적 물리량이므로 에너지의 변화만큼 일을 한 것이 된다. 즉
\[W=\Delta E=E_\text{final}-E_\text{initial}.\]
일은 힘벡터와 거리벡터($\vec{s}$)의 스칼라곱이므로 두 벡터의 각도가 $\theta$일 경우 다음과 같이 정의된다.
\[W=\vec{F}\cdot\vec{s}=Fs\cos(\theta)\]
마찰 손실을 무시하면 물체 1의 에너지 손실은 물체 2가 얻는 에너지와 동일해야 한다. 따라서,
\[\Delta E_1=-\Delta E_2,\] \[E_{1,\text{final}}-E_{1,\text{initial}}=E_{2,\text{initial}}-E_{2,\text{final}},\] \[\vec{F}_1\cdot\vec{s}_1=\vec{F}_2\cdot\vec{s}_2.\]
정지 상태에서 등가속 운동을 시작한다고 가정하면 $\vec{s}=\frac{1}{2}\vec{a}\Delta t^2$이다. 따라서,
\[\vec{F}_1\cdot\frac{1}{2}\vec{a}_1\Delta t^2=\vec{F}_2\cdot\frac{1}{2}\vec{a}_2\Delta t^2.\]